tanx的导数是什么？这个问题是关于函数导数的求解，涉及到数学中的基本初等函数和导数的概念。在求解过程中，我们需要利用导数的定义和三角函数的公式来进行推导。
首先，让我们回忆一下导数的定义。设函数y=f(x)在点x处可导，则它的导数f'(x)定义为：
f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) – f(x)] / h
这个极限表示当h趋近于0时，函数f(x+h)与f(x)的差值与h的比值的极限。导数的值反映了函数在某一点处的变化率。
我们知道，对于基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，都有其对应的导数公式。对于正弦函数sinx和余弦函数cosx，根据导数的定义，我们可以推导它们的导数。
sin’x = lim (h->0) [sin(x+h) – sin(x)] / h
由于sin(x+h) – sin(x)可以化简为2cos(x+h/2)sin(h/2)，因此上式可以变形为：
sin’x = lim (h->0) [2cos(x+h/2)sin(h/2)] / h
由于lim (h->0) sin(h/2) = 0，因此上式可以进一步简化为：
sin’x = lim (h->0) [2cos(x+h/2)] / h
由于当h趋近于0时，cos(x+h/2)趋近于cos(x)，因此上式可以化简为：
sin’x = 2cosx
即sinx的导数为2cosx。同样的方法可以用于推导cosx的导数，即：
cos’x = -2sinx
现在，我们已经推导出了正弦和余弦函数的导数，接下来就可以求解tanx的导数了。我们知道tanx = sinx / cosx，因此：
tan’x = (sinx / cosx)’
根据前面推导出的结果，我们知道(sinx)’ = 2cosx，(cosx)’ = -2sinx，因此：
tan’x = (2cosx * cosx – 2sinx * sinx) / (cos^2 x)
化简后得到：
tan’x = 2 / (cos^2 x)
所以，tanx的导数为2 / (cos^2 x)。这就是tanx的导数公式。
在实际应用中，我们可以利用这个公式来求解与正切函数相关的导数问题。例如，当我们需要求解一个包含正切函数的复合函数的导数时，就可以利用这个公式来计算。此外，这个公式在微积分、数学分析和物理等领域也有广泛的应用。例如，在物理学中，这个公式可以用于求解与角速度和角加速度相关的物理量。在微积分中，这个公式可以用于求解与曲线切线相关的几何问题。因此，掌握这个公式的推导过程和应用场景对于数学和物理的学习都是非常重要的。
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